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Herleitung der Darstellungsmatrix einer Parallelprojektion auf die x-y-Ebene

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Wir gehen davon aus, dass A (x_A|y_A|z_A) der Ausgangspunkt der auf die x-y-Ebene projeziert werden soll, der Vektor \vec{v} = \begin{pmatrix} x_v \\ y_v \\ z_v \end{pmatrix} ist der Vektor der Sonnenstrahlen und B (x_B|y_B|z_B) der Bildpunkt der durch A auf der x-y-Ebene erzeugt wird.

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Zuerst beginnen wir mit der Projektionsgerade in dem wir eine Geradengleichung mit A als Stützsvektor und dem Vektor der Strahlen als Richtungsvektor aufschreiben.

\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \\ z_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \\ z_A \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} x_v \\ y_v \\ z_v \end{pmatrix}

A – Wie setzt sich die Geradengleichung für die Projektionsgerade zusammen?

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Daraus können wir drei einzelne Gleichungen erstellen.

B – Welche drei Gleichungen?

Es gilt z_B =0 daraus folgt u=- \frac{z_A}{z_v}, es ergibt sch also für x_B und y_B folgendes:

C – z_B = 0, weil…

x_B=x_A-\frac{z_A \cdot x_v }{z_v}=\frac{z_v \cdot x_A - x_v \cdot z_A }{z_v}

y_B=y_A - \frac{y_A \cdot y_v}{z_v}=\frac{z_v \cdot y_A - y_v \cdot z_A}{z_v}

    \begin{align*} x_B &= x_A-\frac{z_A \cdot x_v }{z_v} &&| \cdot 1 = \cdot \frac{ z_v }{ z_v} \\ \end{align*}

D – Was ist das Ziel dieses Rechenschritts?

    \begin{align*} &= x_A \cdot \frac{ z_v }{ z_v} - \frac{z_A \cdot x_v }{z_v} \\ &= \frac{ x_A \cdot z_v }{ z_v} - \frac{z_A \cdot x_v }{z_v} \\\end{align*}

E – Was ist hier passiert?

    \begin{align*} &= \frac{ x_A \cdot z_v - z_A \cdot x_v }{z_v} \\\end{align*}

F – Was ist hier passiert?

Der Rechenweg für y_B ist ähnlich zu dem Rechenweg für x_B

    \begin{align*}y_B &= y_A-\frac{z_A \cdot y_v }{z_v} &&| \cdot 1 = \cdot \frac{ z_v }{ z_v} \\&= y_A \cdot \frac{ z_v }{ z_v} - \frac{z_A \cdot y_v }{z_v} \\&= \frac{ y_A \cdot z_v }{ z_v} - \frac{z_A \cdot y_v }{z_v} \\&= \frac{ y_A \cdot z_v - z_A \cdot y_v }{z_v}\\\end{align*}

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Es gilt also für den Ortsvektor von dem BIldpunkt B:

\begin{pmatrix} x_B \\ y_B\\ z_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{ x_A \cdot z_v - z_A \cdot x_v }{z_v} \\ \frac{ y_A \cdot z_v - z_A \cdot y_v }{z_v} \\ 0 \end{pmatrix}

G – Warum?

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Um einen Vektor ohne Bruch zu haben benutzen wir die Skalarmultiplikation mit \frac{1}{(z_v)}:

\begin{pmatrix} \frac{ x_A \cdot z_v - z_A \cdot x_v }{z_v} \\ \frac{ y_A \cdot z_v - z_A \cdot y_v }{z_v} \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{(z_v)} \cdot \begin{pmatrix} z_v \cdot x_A - x_v \cdot z_A \\ z_v \cdot y_A - y_v \cdot z_A \\ 0 \end{pmatrix}

H – Warum geht hier die Skalarmultiplikation?

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Jetzt erstellen wir aus dem Vektor \begin{pmatrix} z_v \cdot x_A - x_v \cdot z_A \\ z_v \cdot y_A - y_v \cdot z_A \\ 0 \end{pmatrix} eine Darstellungsmatrix. Dazu benutzen wir die allgemeine Formel der Matrizenmultiplikation für 3×3-Matrizen. \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_v\\ y_v \\ z_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1} \cdot x_v + a_{1,2} \cdot y_v + a_{1,3} \cdot z_v \\ a_{2,1} \cdot x_v + a_{2,2} \cdot y_v + a_{2,3} \cdot z_v \\ a_{3,1} \cdot x_v + a_{3,2} \cdot y_v + a_{3,3} \cdot z_v \end{pmatrix}


Diese Darstellungsmatrix muss mit A multipliziert werden um den Vektor zu ergeben.


Wir erhalten schließlich:

\begin{pmatrix} z_v & 0 & -x_v\\ 0 & z_v & -y_v\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_A\\ y_A\\ z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_v \cdot x_A - x_v \cdot z_A \\ z_v \cdot y_A - y_v \cdot z_A \\ 0 \end{pmatrix}

I – Wie sieht der Rechenweg aus?

Zusammen ergibt sich diese allgemeine Formel für die Parallelprojektion in 3D auf die x-y-Ebene:

\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \\ z_B \end{pmatrix} = \frac{1}{z_v} \cdot \Biggl\lbrack \begin{pmatrix} z_v & 0 & -x_v\\ 0 & z_v & -y_v\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_A\\ y_A\\ z_A \end{pmatrix} \Biggr\rbrack

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