Herleitung der Darstellungsmatrix einer Zentralprojektion auf die x-y-Ebene

Analytische Geometrie und Lineare Algebra, Matrizenrechnung

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Wir gehen davon aus, dass $A (x_A|y_A|z_A)$ der Ausgangspunkt der auf die x-y-Ebene projeziert werden soll, $C (x_C|y_C|z_C)$ das Projektionszentrum und $B (x_B|y_B|z_B)$ der Bildpunkt der durch $A$ auf der x-y-Ebene erzeugt wird.

Zuerst beginnen wir mit der Projektionsgerade in dem wir eine Geradengleichung mit $C$ als Stützsvektor und den Richtungsvektor, der aus $C$ und $A$ erstellt wurde, aufschreiben.

$\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \\ z_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_C \\ y_C \\ z_C \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} x_A - x_C \\ y_A - y_C \\ z_A - z_C \end{pmatrix}$

A – Wie setzt sich die Geradengleichung für die Projektionsgerade zusammen?

Daraus können wir drei einzelne Gleichungen erstellen.

B – Welche drei Gleichungen?

Es gilt $z_B =0$ daraus folgt $u=- \frac{z_C}{z_A-z_C}$ , es ergibt sch also für $x_B$ und $y_B$ folgendes:

C – $z_B = 0$ , weil…

$x_B=x_C-z_C \cdot \frac{x_A-x_C}{z_A-z_C}=\frac{x_C \cdot z_A - x_A \cdot z_C}{z_A - z_C}$

$y_B=y_C-z_C \cdot \frac{y_A-y_C}{z_A-z_C}=\frac{y_C \cdot z_A - y_A \cdot z_C}{z_A - z_C}$

$\begin{align*} x_B &=x_C-z_C \cdot \frac{x_A-x_C}{z_A-z_C} &&| \cdot 1 = \cdot \frac{ z_A - z_C }{ z_A - z_C } \\ \end{align*}$

D – Was ist das Ziel dieses Rechenschritts?

$\begin{align*} &= x_C \cdot \frac{ z_A - z_C }{ z_A - z_C } - \frac{z_C \cdot x_A- z_C \cdot x_C}{z_A-z_C} \\ &= \frac{ x_C \cdot z_A - x_C \cdot z_C }{ z_A - z_C } - \frac{z_C \cdot x_A- z_C \cdot x_C}{z_A-z_C} \\\end{align*}$

E – Was ist hier passiert?

$\begin{align*} &= \frac{ x_C \cdot z_A - x_C \cdot z_C -(z_C \cdot x_A- z_C \cdot x_C)}{z_A-z_C} \\\end{align*}$

F – Was ist hier passiert?

$\begin{align*} &= \frac{ x_C \cdot z_A \color{red}- x_C \cdot z_C \color{black} - z_C \cdot x_A \color{red}+ z_C \cdot x_C}{z_A-z_C} \\\end{align*}$

G – Was ist hier passiert und warum?

$\begin{align*} &= \frac{x_C \cdot z_A - z_C \cdot x_A}{z_A - z_C} \\&= \frac{x_C \cdot z_A - x_A \cdot z_C}{z_A - z_C}\\\end{align*}$

H – Was ist hier passiert?

Der Rechenweg für $y_B$ ist ähnlich zu dem Rechenweg für $x_B$

$\begin{align*}y_B &=y_C-z_C \cdot \frac{y_A-y_C}{z_A-z_C} &&| \cdot 1 = \cdot \frac{ z_A - z_C }{ z_A - z_C } \\&= y_C \cdot \frac{ z_A - z_C }{ z_A - z_C } - \frac{z_C \cdot y_A- z_C \cdot y_C}{z_A-z_C} \\&= \frac{ y_C \cdot z_A - y_C \cdot z_C }{ z_A - z_C } - \frac{z_C \cdot y_A- z_C \cdot y_C}{z_A-z_C} \\&= \frac{ y_C \cdot z_A - y_C \cdot z_C -(z_C \cdot y_A- z_C \cdot y_C)}{z_A-z_C} \\&= \frac{ y_C \cdot z_A \color{red}- y_C \cdot z_C \color{black} - z_C \cdot y_A \color{red}+ z_C \cdot y_C}{z_A-z_C} \\&= \frac{y_C \cdot z_A - z_C \cdot y_A}{z_A - z_C} \\&= \frac{y_C \cdot z_A - y_A \cdot z_C}{z_A - z_C}\\\end{align*}$

Es gilt also für den Ortsvektor von dem Bildpunkt $B$ :

$\begin{pmatrix} x_B \\ y_B\\ z_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{x_C \cdot z_A - x_A \cdot z_C}{z_A - z_C} \\ \frac{y_C \cdot z_A - y_A \cdot z_C}{z_A - z_C} \\ 0 \end{pmatrix}$

I – Warum?

Um einen Vektor ohne Bruch zu haben benutzen wir die Skalarmultiplikation mit $\frac{1}{(z_A - z_C)}$ :

$\begin{pmatrix} \frac{x_C \cdot z_A - x_A \cdot z_C}{z_A - z_C} \\ \frac{y_C \cdot z_A - y_A \cdot z_C}{z_A - z_C} \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{(z_A - z_C)} \cdot \begin{pmatrix} x_C \cdot z_A - x_A \cdot z_C\\ y_C \cdot z_A - y_A \cdot z_C \\ 0 \end{pmatrix}$

J – Warum geht hier die Skalarmultiplikation?

Jetzt erstellen wir nur aus dem Vektor $\begin{pmatrix} x_C \cdot z_A - x_A \cdot z_C\\ y_C \cdot z_A - y_A \cdot z_C \\ 0 \end{pmatrix}$ eine Darstellungsmatrix. (Das Skalarprodukt mit dem $\frac{1}{z_A-z_C}$ ist erstmal uninteressant.) Dazu benutzen wir die allgemeine Formel der Matrizenmultiplikation für 3×3-Matrizen. $\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_v\\ y_v \\ z_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1} \cdot x_v + a_{1,2} \cdot y_v + a_{1,3} \cdot z_v \\ a_{2,1} \cdot x_v + a_{2,2} \cdot y_v + a_{2,3} \cdot z_v \\ a_{3,1} \cdot x_v + a_{3,2} \cdot y_v + a_{3,3} \cdot z_v \end{pmatrix}$

Diese Darstellungsmatrix muss mit $A$ multipliziert werden um den Vektor zu ergeben.

Wir erhalten schließlich:

$\begin{pmatrix} - z_C & 0 & x_C\\ 0 & - z_C & y_C\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_A\\ y_A\\ z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_C \cdot z_A - x_A \cdot z_C\\ y_C \cdot z_A - y_A \cdot z_C \\ 0 \end{pmatrix}$

K – Wie sieht der Rechenweg aus?

Zusammen ergibt sich diese allgemeine Formel für die Zentralprojektion in 3D auf die x-y-Ebene:

$\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \\ z_B \end{pmatrix} = \frac{1}{z_A-z_C} \cdot \Biggl\lbrack \begin{pmatrix} - z_C & 0 & x_C\\ 0 & - z_C & y_C\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_A\\ y_A\\ z_A \end{pmatrix} \Biggr\rbrack$

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