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Herleitung der Formel für die Rotation in 2D

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Wir wissen, dass wir jedes Element des Vektors \begin{pmatrix} x_v \\ y_v \end{pmatrix} mit einem eigenen Faktor multipliziert werden soll.

Element: Ein Element ist ein Teil des Vektors oder der Matrix. Zum Beispiel: x_v oder a_{2,1}.

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Der mathematische Hintergrund: (nur zur Information, für uns ist die Formel wichtiger 😉 )
Für die Rotation um den Ursprung gehen wir von der einer Bewegung einem Kreis, einer Rotation, aus. Der Radius des verwendeten Kreises hat die Länge des Ortsvektors zu dem Punkt. Durch die Formelen x_R = cos( \alpha ) \cdot x_v - sin( \alpha ) \cdot y_v und y_R = sin( \alpha ) \cdot x_v + cos( \alpha ) \cdot y_v kann man die Koordinaten für jeden rotierten PunktR erstellen, zusammen ist es dann \begin{pmatrix} x_R \\ y_R \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos( \alpha ) \cdot x_v - sin( \alpha ) \cdot y_v \\ sin( \alpha ) \cdot x_v + cos( \alpha ) \cdot y_v \end{pmatrix}.

Wir kennen also die Koordinaten für den rotierten Punkt R:
\begin{pmatrix} x_R \\ y_R \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos( \alpha ) \cdot x_v - sin( \alpha ) \cdot y_v \\ sin( \alpha ) \cdot x_v + cos( \alpha ) \cdot y_v \end{pmatrix}

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In dem wir bei der allgemeinen Formel der Multiplikation von einer Matrix mit einem Vektor \begin{pmatrix} a_{ 1,1} \cdot x_v + a_{1,2} \cdot y_v \\ a_{2,1} \cdot x_v + a_{2,2} \cdot y_v \end{pmatrix} durch \ \begin{pmatrix} cos( \alpha ) \cdot x_v - sin( \alpha ) \cdot y_v \\ sin( \alpha ) \cdot x_v + cos( \alpha ) \cdot y_v \end{pmatrix} ersetzen, erhalten wird für die Darstellungsmatrix der Rotation um den Ursprung folgendes Ergebnis:
\begin{pmatrix} cos( \alpha ) & -sin( \alpha ) \\ sin( \alpha ) & cos( \alpha) \end{pmatrix}

Darstellungsmatrix: Eine Darstellungsmatrix ist eine Matrix, mit der Punkte und Vektoren anders dargestellt werden können.

Zusammen ergibt sich diese Formel für die Rotation in 2D:

\begin{pmatrix} cos( \alpha ) & -sin( \alpha ) \\ sin( \alpha ) & cos( \alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_v \\ y_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos( \alpha ) \cdot x_v - sin( \alpha ) \cdot y_v \\ sin( \alpha ) \cdot x_v + cos( \alpha ) \cdot y_v \end{pmatrix}

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