Herleitung der Formel für die Skalierung in 2D

Analytische Geometrie und Lineare Algebra, Matrizenrechnung

Wir wissen, dass wir jedes Element des Vektors $\begin{pmatrix} x_v \\ y_v \end{pmatrix}$ mit einem eigenen Faktor multipliziert werden soll.

Deshalb funktioniert die Skalarmultiplikation nicht!
$s \cdot \vec{v} = s \cdot \begin{pmatrix} x_v \\ y_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s \cdot x_v \\ s \cdot y_v \end{pmatrix}$
Bei der Skalarmultiplikation wird ein Skalar ( $s$ ) mit jedem Element des Vektors multipliziert.

Element: Ein Element ist ein Teil des Vektors oder der Matrix. Zum Beispiel: $x_v$ oder $a_{2,1}$ .

Daher verwenden wir die Multiplikation von einer Matrix und einem Vektor. Die allgemeine Formel ist:
$\begin{pmatrix}a_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_v\\ y_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1} \cdot x_v + a_{1,2} \cdot y_v \\ a_{2,1} \cdot x_v + a_{2,2} \cdot y_v \end{pmatrix}$

In dem wir bei der allgemeinen Formel $\begin{pmatrix} a_{1,1} \cdot x_v + a_{1,2} \cdot y_v \\ a_{2,1} \cdot x_v + a_{2,2} \cdot y_v \end{pmatrix}$ durch $\begin{pmatrix} s_x \cdot x_v \\ s_y \cdot y_v \end{pmatrix}$ ersetzen erhalten wird für die Darstellungsmatrix der Skalierung folgendes Ergebnis:
$\begin{pmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{pmatrix}$

Darstellungsmatrix: Eine Darstellungsmatrix ist eine Matrix, mit der Punkte und Vektoren anders dargestellt werden können.

Zusammen ergibt sich diese Formel für die Skalierung in 2D:

$\begin{pmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_v \\ y_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_x \cdot x_v \\ s_y \cdot y_v \end{pmatrix}$

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Herleitung der Formel für die Skalierung in 2D

Zusammen ergibt sich diese Formel für die Skalierung in 2D:

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