Herleitung einer speziellen Darstellungsmatrix einer Parallelprojektion auf die x-y-Ebene

Analytische Geometrie und Lineare Algebra, Matrizenrechnung

Wir gehen davon aus, dass $A (x_A|y_A|z_A)$ der Ausgangspunkt der auf die x-y-Ebene projeziert werden soll, der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} \color{purple} 2 \color{black} \\ \color{orange} 3 \color{black} \\ \color{red} -5 \color{black} \end{pmatrix}$ ist der Vektor der Sonnenstrahlen und $B (x_B|y_B|z_B)$ der Bildpunkt der durch $A$ auf der x-y-Ebene erzeugt wird.

Zuerst beginnen wir mit der Projektionsgerade in dem wir eine Geradengleichung mit $A$ als Stützsvektor und dem Vektor der Strahlen als Richtungsvektor aufschreiben.

$\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \\ z_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \\ z_A \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} \color{purple} 2 \color{black} \\ \color{orange} 3 \color{black} \\ \color{red} -5 \color{black} \end{pmatrix}$

A – Wie setzt sich die Geradengleichung für die Projektionsgerade zusammen?

Daraus können wir drei einzelne Gleichungen erstellen.

B – Welche drei Gleichungen?

Es gilt $z_B =0$ daraus folgt $u=- \frac{z_A}{\color{red} -5 \color{black}}$ , es ergibt sch also für $x_B$ und $y_B$ folgendes:

C – $z_B = 0$ , weil…

$x_B=x_A-\frac{z_A \cdot \color{purple} 2 \color{black} }{\color{red} -5 \color{black}}=\frac{\color{red} -5 \color{black} \cdot x_A - \color{purple} 2 \color{black} \cdot z_A }{\color{red} -5 \color{black}}$

$y_B=y_A - \frac{y_A \cdot \color{orange} 3 \color{black}}{\color{red} -5 \color{black}}=\frac{\color{red} -5 \color{black} \cdot y_A - \color{orange} 3 \color{black} \cdot z_A}{\color{red} -5 \color{black}}$

$\begin{align*} x_B &= x_A-\frac{z_A \cdot \color{purple} 2 \color{black} }{\color{red} -5 \color{black}} &&| \cdot 1 = \cdot \frac{ \color{red} -5 \color{black} }{ \color{red} -5 \color{black}} \\ \end{align*}$

D – Was ist das Ziel dieses Rechenschritts?

$\begin{align*} &= x_A \cdot \frac{ \color{red} -5 \color{black} }{ \color{red} -5 \color{black}} - \frac{z_A \cdot \color{purple} 2 \color{black} }{\color{red} -5 \color{black}} \\ &= \frac{ x_A \cdot \color{red} -5 \color{black} }{ \color{red} -5 \color{black}} - \frac{z_A \cdot \color{purple} 2 \color{black} }{\color{red} -5 \color{black}} \\\end{align*}$

E – Was ist hier passiert?

$\begin{align*} &= \frac{ x_A \cdot \color{red} -5 \color{black} - z_A \cdot \color{purple} 2 \color{black} }{\color{red} -5 \color{black}} \\\end{align*}$

F – Was ist hier passiert?

Der Rechenweg für $y_B$ ist ähnlich zu dem Rechenweg für $x_B$

$\begin{align*}y_B &= y_A-\frac{z_A \cdot \color{orange} 3 \color{black} }{\color{red} -5 \color{black}} &&| \cdot 1 = \cdot \frac{ \color{red} -5 \color{black} }{ \color{red} -5 \color{black}} \\&= y_A \cdot \frac{ \color{red} -5 \color{black} }{ \color{red} -5 \color{black}} - \frac{z_A \cdot \color{orange} 3 \color{black} }{\color{red} -5 \color{black}} \\&= \frac{ y_A \cdot \color{red} -5 \color{black} }{ \color{red} -5 \color{black}} - \frac{z_A \cdot \color{orange} 3 \color{black} }{\color{red} -5 \color{black}} \\&= \frac{ y_A \cdot \color{red} -5 \color{black} - z_A \cdot \color{orange} 3 \color{black} }{\color{red} -5 \color{black}}\\\end{align*}$

Es gilt also für den Ortsvektor von dem BIldpunkt $B$ :

$\begin{pmatrix} x_B \\ y_B\\ z_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{ x_A \cdot \color{red} -5 \color{black} - z_A \cdot \color{purple} 2 \color{black} }{\color{red} -5 \color{black}} \\ \frac{ y_A \cdot \color{red} -5 \color{black} - z_A \cdot \color{orange} 3 \color{black} }{\color{red} -5 \color{black}} \\ 0 \end{pmatrix}$

G – Warum?

Um einen Vektor ohne Bruch zu haben benutzen wir die Skalarmultiplikation mit $\frac{1}{(\color{red} -5 \color{black})}$ :

$\begin{pmatrix} \frac{ x_A \cdot \color{red} -5 \color{black} - z_A \cdot \color{purple} 2 \color{black} }{\color{red} -5 \color{black}} \\ \frac{ y_A \cdot \color{red} -5 \color{black} - z_A \cdot \color{orange} 3 \color{black} }{\color{red} -5 \color{black}} \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{(\color{red} -5 \color{black})} \cdot \begin{pmatrix} \color{red} -5 \color{black} \cdot x_A - \color{purple} 2 \color{black} \cdot z_A \\ \color{red} -5 \color{black} \cdot y_A - \color{orange} 3 \color{black} \cdot z_A \\ 0 \end{pmatrix}$

H – Warum geht hier die Skalarmultiplikation?

Jetzt erstellen wir aus dem Vektor $\begin{pmatrix} \color{red} -5 \color{black} \cdot x_A - \color{purple} 2 \color{black} \cdot z_A \\ \color{red} -5 \color{black} \cdot y_A - \color{orange} 3 \color{black} \cdot z_A \\ 0 \end{pmatrix}$ eine Darstellungsmatrix. Dazu benutzen wir die allgemeine Formel der Matrizenmultiplikation für 3×3-Matrizen. $\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{purple} 2 \color{black}\\ \color{orange} 3 \color{black} \\ \color{red} -5 \color{black} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1} \cdot \color{purple} 2 \color{black} + a_{1,2} \cdot \color{orange} 3 \color{black} + a_{1,3} \cdot \color{red} -5 \color{black} \\ a_{2,1} \cdot \color{purple} 2 \color{black} + a_{2,2} \cdot \color{orange} 3 \color{black} + a_{2,3} \cdot \color{red} -5 \color{black} \\ a_{3,1} \cdot \color{purple} 2 \color{black} + a_{3,2} \cdot \color{orange} 3 \color{black} + a_{3,3} \cdot \color{red} -5 \color{black} \end{pmatrix}$

Diese Darstellungsmatrix muss mit $A$ multipliziert werden um den Vektor zu ergeben.

Wir erhalten schließlich:

$\begin{pmatrix} \color{red} -5 \color{black} & 0 & -\color{purple} 2 \color{black}\\ 0 & \color{red} -5 \color{black} & -\color{orange} 3 \color{black}\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_A\\ y_A\\ z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red} -5 \color{black} \cdot x_A - \color{purple} 2 \color{black} \cdot z_A \\ \color{red} -5 \color{black} \cdot y_A - \color{orange} 3 \color{black} \cdot z_A \\ 0 \end{pmatrix}$

I – Wie sieht der Rechenweg aus?

Zusammen ergibt sich diese allgemeine Formel für die Parallelprojektion in 3D auf die x-y-Ebene:

$\begin{pmatrix} x_A\\ y_A\\ z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red} -5 \color{black} \cdot x_A - \color{purple} 2 \color{black} \cdot z_A \\ \color{red} -5 \color{black} \cdot y_A - \color{orange} 3 \color{black} \cdot z_A \\ 0 \end{pmatrix}$

$\longrightarrow \frac{1}{(\color{red} -5 \color{black})} \cdot \begin{pmatrix} \color{red} -5 \color{black} \cdot x_A - \color{purple} 2 \color{black} \cdot z_A \\ \color{red} -5 \color{black} \cdot y_A - \color{orange} 3 \color{black} \cdot z_A \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_B\\ y_B\\ z_B \end{pmatrix}$

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Herleitung einer speziellen Darstellungsmatrix einer Parallelprojektion auf die x-y-Ebene

Zusammen ergibt sich diese allgemeine Formel für die Parallelprojektion in 3D auf die x-y-Ebene:

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