Herleitung einer spezifischen Darstellungsmatrix einer Zentralprojektion auf die x-y-Ebene

Analytische Geometrie und Lineare Algebra, Matrizenrechnung

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Wir gehen davon aus, dass $A (\color{violet} x_A \color{black}|\color{cyan} y_A \color{black}|\color{blue} z_A \color{black})$ der Ausgangspunkt der auf die x-y-Ebene projeziert werden soll, $C (\color{purple} 15 \color{black}|\color{orange} 40 \color{black}|\color{red}25 \color{black})$ das Projektionszentrum und $B (x_B|y_B|z_B)$ der Bildpunkt der durch $A$ auf der x-y-Ebene erzeugt wird.

Zuerst beginnen wir mit der Projektionsgerade in dem wir eine Geradengleichung mit $C$ als Stützsvektor und den Richtungsvektor, der aus $C$ und $A$ erstellt, wurde aufschreiben.

$\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \\ z_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{purple} 15 \color{black} \\ \color{orange} 40 \color{black} \\ \color{red}25 \color{black} \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} \color{violet} x_A \color{black} - \color{purple} 15 \color{black} \\ \color{cyan} y_A \color{black} - \color{orange} 40 \color{black} \\ \color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black} \end{pmatrix}$

A – Wie setzt sich die Geradengleichung für die Projektionsgerade zusammen?

Daraus können wir drei einzelne Gleichungen erstellen.

B – Welche drei Gleichungen?

Es gilt $z_B =0$ daraus folgt $u= - \frac{ \color{red}25 \color{black} }{\color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25}$ , es ergibt sch also für $x_B$ und $y_B$ folgendes:

C – $z_B = 0$ , weil…

$x_B=\color{purple} 15 \color{black}-\color{red}25 \color{black} \cdot \frac{\color{violet} x_A \color{black}-\color{purple} 15 \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black}-\color{red}25 \color{black}}=\frac{\color{purple} 15 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{violet} x_A \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25}$

$y_B=\color{orange} 40 \color{black}-\color{red}25 \color{black} \cdot \frac{\color{cyan} y_A \color{black}-\color{orange} 40 \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black}-\color{red}25 \color{black}}=\frac{\color{orange} 40 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{cyan} y_A \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25}$

$\begin{align*} x_B &=\color{purple} 15 \color{black}-\color{red}25 \color{black} \cdot \frac{\color{violet} x_A \color{black}-\color{purple} 15 \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black}-\color{red}25 \color{black}} &&| \cdot 1 = \cdot \frac{\color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25}{\color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25} \\ \end{align*}$

D – Was ist das Ziel dieses Rechenschritts?

$\begin{align*} &= \color{purple} 15 \color{black} \cdot \frac{ \color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black} }{ \color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black} } - \frac{\color{red}25 \color{black} \cdot \color{violet} x_A \color{black}- \color{red}25 \color{black} \cdot \color{purple} 15 \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black}-\color{red}25 \color{black}} \\ &= \frac{ \color{purple} 15 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{purple} 15 \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black} }{ \color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black} } - \frac{\color{red}25 \color{black} \cdot \color{violet} x_A \color{black}- \color{red}25 \color{black} \cdot \color{purple} 15 \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black}-\color{red}25 \color{black}} \\\end{align*}$

E – Was ist hier passiert?

$\begin{align*} &= \frac{ \color{purple} 15 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{purple} 15 \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black} -(\color{red}25 \color{black} \cdot \color{violet} x_A \color{black}- \color{red}25 \color{black} \cdot \color{purple} 15 \color{black})}{\color{blue} z_A \color{black}-\color{red}25 \color{black}} \\\end{align*}$

F – Was ist hier passiert?

$\begin{align*} &= \frac{ \color{purple} 15 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} \color{red}- \color{black} [\color{purple} 15 \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black} ] - \color{red}25 \color{black} \cdot \color{violet} x_A \color{black} \color{red}+\color{black} [ \color{red}25 \color{black} \cdot \color{purple} 15 \color{black} ] }{\color{blue} z_A \color{black}-\color{red}25 \color{black}} \\\end{align*}$

G – Was ist hier passiert und warum?

$\begin{align*} &= \frac{\color{purple} 15 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black} \cdot \color{violet} x_A \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black}} \\&= \frac{\color{purple} 15 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{violet} x_A \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black}}\\\end{align*}$

H – Was ist hier passiert?

Der Rechenweg für $y_B$ ist ähnlich zu dem Rechenweg für $x_B$

$\begin{align*}y_B &=\color{orange} 40 \color{black}-\color{red}25 \color{black} \cdot \frac{\color{cyan} y_A \color{black}-\color{orange} 40 \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black}-\color{red}25 \color{black}} &&| \cdot 1 = \cdot \frac{ \color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black} }{ \color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black} } \\&= \color{orange} 40 \color{black} \cdot \frac{ \color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black} }{ \color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black} } - \frac{\color{red}25 \color{black} \cdot \color{cyan} y_A \color{black}- \color{red}25 \color{black} \cdot \color{orange} 40 \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black}-\color{red}25 \color{black}} \\&= \frac{ \color{orange} 40 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{orange} 40 \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black} }{ \color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black} } - \frac{\color{red}25 \color{black} \cdot \color{cyan} y_A \color{black}- \color{red}25 \color{black} \cdot \color{orange} 40 \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black}-\color{red}25 \color{black}} \\&= \frac{ \color{orange} 40 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{orange} 40 \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black} -(\color{red}25 \color{black} \cdot \color{cyan} y_A \color{black}- \color{red}25 \color{black} \cdot \color{orange} 40 \color{black})}{\color{blue} z_A \color{black}-\color{red}25 \color{black}} \\&= \frac{ \color{orange} 40 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} \color{red}- \color{orange} 40 \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black} \color{black} - \color{red}25 \color{black} \cdot \color{cyan} y_A \color{black} \color{red}+ \color{red}25 \color{black} \cdot \color{orange} 40 \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black}-\color{red}25 \color{black}} \\&= \frac{\color{orange} 40 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black} \cdot \color{cyan} y_A \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black}} \\&= \frac{\color{orange} 40 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{cyan} y_A \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black}}\\\end{align*}$

Es gilt also für den Ortsvektor von dem BIldpunkt $B$ :

$\begin{pmatrix} x_B \\ y_B\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\color{purple} 15 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{violet} x_A \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black}} \\ \frac{\color{orange} 40 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{cyan} y_A \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black}} \\ 0 \end{pmatrix}$

I – Warum?

Um einen Vektor ohne Bruch zu haben benutzen wir die Skalarmultiplikation mit $\frac{1}{(\color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black})}$ :

$\begin{pmatrix} \frac{\color{purple} 15 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{violet} x_A \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black}} \\ \frac{\color{orange} 40 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{cyan} y_A \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black}}{\color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black}} \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{(\color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black})} \cdot \begin{pmatrix} \color{purple} 15 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{violet} x_A \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black}\\ \color{orange} 40 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{cyan} y_A \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black} \\ 0 \end{pmatrix}$

J – Warum geht hier die Skalarmultiplikation?

Jetzt erstellen wir nur aus dem Vektor $\begin{pmatrix} \color{purple} 15 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{violet} x_A \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black} \\ \color{orange} 40 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{cyan} y_A \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black} \\ 0 \end{pmatrix}$ eine Darstellungsmatrix. (Das Skalarprodukt mit dem $\frac{1}{(\color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black})}$ ist erstmal uninteressant.)
Dazu benutzen wir die allgemeine Formel der Matrizenmultiplikation für 3×3-Matrizen. $\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_v\\ y_v \\ z_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1} \cdot x_v + a_{1,2} \cdot y_v + a_{1,3} \cdot z_v \\ a_{2,1} \cdot x_v + a_{2,2} \cdot y_v + a_{2,3} \cdot z_v \\ a_{3,1} \cdot x_v + a_{3,2} \cdot y_v + a_{3,3} \cdot z_v \end{pmatrix}$

Diese Darstellungsmatrix muss mit $A$ multipliziert werden um den Vektor zu ergeben.

Wir erhalten schließlich:

$\begin{pmatrix} - \color{red}25 \color{black} & 0 & \color{purple} 15 \color{black}\\ 0 & - \color{red}25 \color{black} & \color{orange} 40 \color{black}\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{violet} x_A \color{black}\\ \color{cyan} y_A \color{black}\\ \color{blue} z_A \color{black} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{purple} 15 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{violet} x_A \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black}\\ \color{orange} 40 \color{black} \cdot \color{blue} z_A \color{black} - \color{cyan} y_A \color{black} \cdot \color{red}25 \color{black} \\ 0 \end{pmatrix}$

K – Wie sieht der Rechenweg aus?

Zusammen ergibt sich diese spezifische Formel für die Zentralprojektion in 3D:

$\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \\ z_B \end{pmatrix} = \frac{1}{(\color{blue} z_A \color{black} - \color{red}25 \color{black})} \cdot \Biggl\lbrack\begin{pmatrix} - \color{red}25 \color{black} & 0 & \color{purple} 15 \color{black}\\ 0 & - \color{red}25 \color{black} & \color{orange} 40 \color{black}\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{violet} x_A \color{black}\\ \color{cyan} y_A \color{black}\\ \color{blue} z_A \color{black} \end{pmatrix} \Biggr\rbrack$

Wie waren die Aufgaben?

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