Hilfe zum Ballwurf

DGS, Funktionen und Analysis, Hilfe, quadratische Funktionen

Hallo!

Hier finden Sie eine Hilfen zu der Bestimmung von quadratischen Funktionen.
Es gibt mehrere Wege eine quadratische Funktion zu bestimmen, wenn man den Scheitelpunkt kennt. Die Hilfen sind nach der Schwierigkeit der Verfahren aufgeteilt.

A. Bestimmung mit GeoGebra

Hier können Sie den Parameter $a$ (durch einen Schieberegler) und den Scheitelpunkt $SP$ (durch hin und her schieben), in dem GeoGebra File verändern.

Dazu gibt es die Funktion, durch Klicken auf das Viereck bei “Hilfe für die Punktprobe anzeigen” sich noch weitere Optionen anzeigen zu lassen.

Hilfe für die Punktprobe anzeigen

Die Hilfe für die Punkteprobe beinhaltet den Punkt $P$ , der beliebig verschoben werden kann. Der Punkt $P_f$ ist immer auf der Funktion. In dem Textfeld links oben kann man sehen, wie genau gerechnet werden soll.

Zur GeoGebra Datei (Vollbild)

GeoGebra Datei

B. Bestimmung mit der Punktprobe

Hierbei wird zuerst der Scheitelpunkt $SP (x_s|y_s)$ in die Scheitelpunktform $f(x)=a*(x-x_s)^2+y_s$ eingesetzt.
Danach wird geguckt ob die Parabel nach oben ( $a>0$ ) oder nach unten ( $a<0$ ) geöffnet ist.
Nun wird ein Punkt $P=(x_p|y_p)$ auf der Parabel gesucht, der nicht der Scheitelpunkt ist. (TIPP: Der Punkt sollte einen schönen x-Wert haben, z.B.: $x=3$ , nicht $x=3,2938$ )
Danach wird ungefähr ein Wert für $a$ eingesetzt. z.B. $a=1,5$ in die Funktionsgleichung eingesetzt. (Also hier z.B.: $f(x)=1,5*(x-x_s)^2+y_s$
Als Nächstes wird der x-Wert von $P$ in $f(x)=...$ eingesetzt, also z.B.: für $x=3$ ist es dann $f(3)=...$
Nun soll geprüft werden ob das Ergebnis von das Gleiche ist wie der y-Wert von dem Punkt .
1. Wenn das Ergebnis von $f(3)=...$ sehr ähnlich wie der y-Wert von dem Punkt $P$ ist, können wir aufhören.
2. Ist das Ergebnis von $f(3)=...$ unterschiedlich zu dem y-Wert von dem Punkt $P$ , sollen alle Schritte ab dem 4. Schritt wiederholt werden!

C. Berechnung von der Funktionsgleichung

Dies ist die aufwendigste Methode.

Der erste Schritt dieser Methode sind genau gleich wie bei Methode B, danach wird es mathematischer.

Erinnerung binomische Formeln:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a+b)*(a-b)=a^2-b^2$

Wichtig ist auch hier, dass aus dem Funktionsgraphen Werte abgelesen werden müssen oder Werte schon in der Aufgabe gegeben sein müssen.

Zuerst wird der Scheitelpunkt $SP (x_s|y_s)$ in die Scheitelpunktform $f(x)=a*(x-x_s)^2+y_s$ eingesetzt.
Jetzt wird ein Punkt $P=(x_p|y_p)$ auf der Parabel gesucht, der nicht der Scheitelpunkt ist. (TIPP: Der Punkt sollte einen schönen x-Wert haben, z.B.: $x=3$ , nicht $x=3,2938$ )
Dann wird der Punkt $P$ in die Scheitelpunktform $f(x)=a*(x-x_s)^2+y_s$ eingesetzt.
Das ergibt: $f(x_p)=a*(x_p-x_s)^2+y_s \Rightarrow y_p=a*(x_p-x_s)^2+y_s \Rightarrow ... \Rightarrow a=\frac{y_p-y_s}{(x_p-x_s)^2}$
So kann der Streckfaktor $a$ berechnet werden.

Wie waren die Aufgaben?

EinfachSchwer

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