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Kraftvektoren im Raum

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Wir haben zunächst Kraftvektoren nur in 2D betrachtet. In der letzten Stunde gab es bereits einen Ausblick auf die dritte Dimension.

Sobald wir in 3D arbeiten erhalten wir noch eine z-Achse dazu. Vorher hatten wir ein 2D-Koordinatensystem mit x und y-Achse, jetzt erhalten wir ein 3D-Koordinatensystem mit x, y und z-Achse. Das 3D-Koordinatensystem sieht dann so aus:

Sobald wir Vektoren in das Koordinaten einzeichnen, gehen wir standardmäßig von dem Nullpunkt aus. Also der Vektor \vec{p} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5\\ 1 \end{pmatrix} beginnt bei (0|0|0) und endet bei dem Punkt P(3|5|1). Andersherum ergibt sich folgender Zusammenhang:

Ortsvektor
Ein Ortsvektor \vec{p} ist der Vektor der vom Nullpunkt hin zu dem Punkt P(3|5|1) führt.
Man sagt auch: Der Ortsvektor zum Punkt P ist \vec{p}.
Ein Vektor ist nur dann ein Ortsvektor wenn er im Nullpunkt beginnt!

Aufgaben

  1. Bestimmen sie die Ortsvektoren zu A( 3 | 5 | 4), B( 6 | -3 | 4 ), C( -12 | 8 | 9), D( -5 | \frac{32}{3} | 9 ), E (11 | 6 | 5), F (1 | 3 | 7) und G( 9 | -4,5 | 6 ).
  2. Bestimmen sie die Länge aller Ortsvektoren aus Aufgabe 1 (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c},…).
  3. Bestimmen sie die zwei linearabhängigen Ortsvektoren aus Aufgabe 1.

In diesem Bild erkennen sie einen Stützvektor und einen Richtungsvektor.

  1. Bestimmen sie die Ortsvektoren zu A und B.
  2. Bestimmen sie den Stützvektor und den Richtungsvektor.
  3. Ist der Stützvektor ein Ortsvektor? Begründen sie ihre Antwort kurz!
  4. Ist der Richtungsvektor ein Ortsvektor? Begründen sie ihre Antwort kurz!
  5. Erklären sie kurz in eigenen Worten warum es die Vektoren Stützvektor und Richtungsvektor heißen.

In dem Bild oben ist euch eine Gerade in rot zu sehen. Diese Gerade kann durch den Stützvektor und Richtungsvektor beschrieben werden. Mathematisch verwenden wir dazu die Parameterform.
Wir sagen: Es ist eine Geradengleichung in Parameterform.

Die allgemeine Paramterform sieht so aus:
g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u} bzw. g: \vec{x} = \begin{pmatrix} x_p \\ y_p\\z_p \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} x_u \\ y_u\\z_u \end{pmatrix}
Dabei muss immer (egal bei welcher Geradengleichung) vorne “\vec{x} = ...” stehen.
Hier ist g: der Name der Geraden, \vec{p} der Stützvektor, \vec{u} der Richtungsvektor und t ein Faktor (oben in GeoGebra ist der Faktor ein \lambda = Lambda).

  1. Stellen sie die Geradengleichung in Parameterform für die oben abgebildete Gerade auf.
  2. Kann man die Länge einer Geraden (also | \vec{x} |) berechnen? Begründen sie ihre Antwort kurz!
  3. Erstellen sie Geradengleichungen in Paramterform für die Punkte aus Aufgabe 1:
    1. Gerade g durch A und B
    2. Gerade h durch C und D
    3. Gerade j durch E und F

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