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Kraftvektoren in 2D

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Die Kraft ist eine vektorielle Größe und kann durch Angriffspunkt, Wirkungslinie, Richtung und Betrag eindeutig bestimmt werden. Man kann somit Kräfte als Kraft-Vektor darstellen. Die zeichnerische Darstellung erfolgt dabei durch Pfeile in einem Koordinatensystem. Es ist außerdem möglich mehrere Kräfte zu einer einzelnen resultierenden Kraft (Ersatzkraft) zusammenzufassen.

Quelle: https://www.maschinenbau-wissen.de/skript3/mechanik/kinetik/274-kraft-vektor

Wir benutzen Vektoren der Form: \vec{w} = \begin{pmatrix} x_w\\ y_w \end{pmatrix}

WICHTIG: Wir benutzen ab sofort die schreibweise \vec{v} = \begin{pmatrix} x_v\\ y_v \end{pmatrix}, später in 3D dann \vec{v} = \begin{pmatrix} x_v\\ y_v \\z_v \end{pmatrix}.
Wir tauschen also \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} gegen \begin{pmatrix} x_v\\ y_v \\z_v \end{pmatrix}, durch den Index unten z.B. bei y_v zeigen wird das y_v zu dem Vektor \vec{v} gehört.

Auf dem Bild sehen wir zwei Boote B_1 und B_2. Die Boote ziehen einen Rettungsring (R). Die Vektoren u und v zeigen die Kräfte die an dem Rettungsring wirken.

Aufgaben

Die Vektoren auf dem Bild gegeben als: \vec{u} = \begin{pmatrix} -3\\ 3 \end{pmatrix} und \vec{v} = \begin{pmatrix} 2\\ 2 \end{pmatrix}

  1. Berechnen sie die resultierende Kraft \vec{w}, die auf den Rettungsring wirkt.
  2. Öffnen sie die GeoGebra Datei (Link zu der Datei unten) und geben sie in das Feld bei x_w und y_w ihre errechneten Werte ein.
  3. Kontrollieren sie ihre Berechnungen durch Anklicken von dem Kästenchen oben.
Zur GeoGebra Datei für Aufgabe 2-4
  1. Verschieben sie die Punkte R, B_1 und B_2 in der GeoGebra Datei aus Aufgabe 2-3.
    1. Was passiert, wenn \vec{u} oder \vec{v} länger werden?
    2. Wie verändert sich der Vektor \overrightarrow{u+v}?

Der Rettungsring hat sich an einem Koordinaten (0|0) festgehangen. Deshalb hat sich das Seil von dem rechten Boot gelöst. Jetzt zieht nur noch das linke Boot an dem Rettungsring. Die Kraft die das linke Boot jetzt hat zeigt der Vektor \vec{v}. Wenn das Boot an dem Rettungsring zieht wird die Kraft mehr und das Seil wird länger gezogen.
Es wurden zwei Modelle in GeoGebra erstellt.

Modell A

Hier wird eine Skalarmultiplikation benutzt um den neuen Vektor \overrightarrow{v_{gestreckt}} zu berechnen.

GeoGebra Modell A

Modell B

Hier wird eine Multiplikation mit einer Matrix benutzt um den neuen Vektor \overrightarrow{v_{gestreckt}} zu berechnen.

GeoGebra Modell B
  1. Vergleichen sie die beiden Modelle mit einander. TIPP: Arbeiten sie am besten mit einem Partner zusammen.
    1. Was ist anders?
    2. Was verändert sich? Und: Wie verändert es sich?
    3. Wie sehen die Berechnungen von \overrightarrow{v_{gestreckt}} aus?

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