Parallelprojektion in 3D

Analytische Geometrie und Lineare Algebra, Matrizenrechnung

Was ist die Parallelprojektion?

Die Parallelprojektion ist in etwa so wie der Schattenwurf. Die Sonne ist soweit von der Erde entfernt, dass wir davon ausgehen können, dass die Strahlen parallel sind. Also treffen alle Strahlen im gleichen Winkel also mit dem gleichen Vektor auf die Erde. Unser Boden ist in dem Beispiel das Fußballfeld.

Da der Vektor der Sonnenstrahlen sich ändert, sobald wir das Fußballfeld drehen, wird hier ein beispielhafter Vektor gegeben: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}$ . Das Fußballfeld ist auf der x-y-Ebene. Der Banner dessen Schatten wir sehen hat die Eckpunkte: $A_1(10|20|8)$ , $A_2(10|28|8)$ , $A_3(12|28|8)$ und $A_4(12|20|8)$ .

Für die Rechnung ist wichtig:
– der Vektor der Sonnenstrahlen $\vec{v} =\begin{pmatrix} \color{purple} 2\\ \color{orange} 3\\ \color{red}{-5} \end{pmatrix}$
– der Ortsvektor von $A_1$ ist: $\vec{a_1} = \begin{pmatrix} 10\\ 20\\ \color{blue} 8\end{pmatrix}$

Die Rechnung für die Parallelprojektion von $A_1$ ist:
$\begin{pmatrix} \color{red}{-5} & 0 & - \color{purple} 2\\ 0 & \color{red}{-5} \color{black} & -\color{orange} 3\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10\\ 20\\ \color{blue} 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -66\\ -124 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\Rightarrow \frac{1}{( \color{red}-5 \color{black} )} \cdot \begin{pmatrix} -66\\ -124\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13,2\\ 24,8\\ 0 \end{pmatrix} = \vec{b_1}$

Es ist also: $B_1(13,2|24,8|0)$

Aufgaben

Errechnen sie die weiteren Punkte $B_2$ , $B_3$ und $B_4$ des Schattens.
Kontrollieren Sie ihre Lösungen mit der GeoGebra Datei (unten).

GeoGebra Datei zu Aufgabe 1

Um von einer Geradengleichung zu einer Rechnung mit einer Darstellungsmatrix zu kommen, muss man einige Umformungen machen. Das Ziel ist zu verstehen, wie wir auf die Darstellungsmatrix kommen.

Man startet bei der allgemeinen Formel für die Geradengleichung die sich aus dem Vektor der Sonnenstrahlen und dem Banner ergibt:
$\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \\ z_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \\ z_A \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} x_v \\ y_v \\ z_v \end{pmatrix}$

Am Ende erhält man eine allgemeine Formel für die Zentralprojektion mit einer Darstellungsmatrix:
$\begin{pmatrix} z_v & 0 & -x_v\\ 0 & z_v & -y_v\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_A\\ y_A\\ z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_v \cdot x_A - x_v \cdot z_A \\ z_v \cdot y_A - y_v \cdot z_A \\ 0 \end{pmatrix}$

$\longrightarrow \frac{1}{(z_v)} \cdot \begin{pmatrix} z_v \cdot x_A - x_v \cdot z_A \\ z_v \cdot y_A - y_v \cdot z_A \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_B\\ y_B\\ z_B \end{pmatrix}$

Herleitung der allgemeinen Formel der Parallelprojektion auf die x-y-Ebene

Gruppe A

Gruppe B

Wie genau wurde die allgemeine Formel für die Darstellungsmatrix der Parallelprojektion herausgefunden?
1. Untersuchen sie in ihrer Gruppe die “Herleitung der Darstellungsmatrix einer Parallelprojektion auf die x-y-Ebene”.
2. Beschreiben sie mit Hilfe der Buchstaben und Fragen neben der Herleitung die Rechenschritte der Herleitung.
  Hilfreiche Fragen:
  Was genau wird bei dem Rechenschritt gemacht?
  Warum genau wurde es gerade dann gemacht?

weiterführende Aufgabe:

Wir möchten eine schnelle Methode haben um den Schattenwurf zu berechnen.

Geben Sie dazu die Allgemeine Formel für die Darstellungsmatrix einer Parallelprojektion in GeoGebra ein.
1. Der Punkt $A$ und der Vektor $\vec{v}$ müssen mit den normalen Zahlen eingegeben werden.
2. Alle anderen Werte die in Abhängigkeit von $C$ oder $A$ eingegeben werden, können in GeoGebra so eingegeben werden:
  $x_v$ = “x(v)” oder $y_A$ = “y(A)”