Bei Fragen, wenden Sie sich an Ihre Lehrperson!

Rotation in 2D

,

In der letzten Stunde haben wir uns mit Skalierung in 2D beschäftigt. Beider Skalierung wird ein Objekt vergrößert oder verkleinert.

Anders ist es bei der Rotation. Hier bleibt das Objekt gleich groß, es ändert lediglich seine Position. Also seine Koordinaten.

Wenn man einen Vektor rotiert, erhält man einen gleich langen Vektor, der nur in eine andere Richtung zeigt. Hier ist wichtig zu wissen, dass wir um den Ursprung des Koordinatensystems rotieren.

Rotation: Die Rotation in 2D ist die Drehung eines Objekts um den Ursprung (0|0)

Um den Vektor \vec{v} = \begin{pmatrix} x_v \\ y_v \end{pmatrix} um 60^\circ zu rotieren verwenden wir folgende Rechnung:
\alpha = 60^\circ mit \begin{pmatrix} cos( \alpha ) & -sin( \alpha ) \\ sin( \alpha ) & cos( \alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_v \\ y_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos( \alpha ) \cdot x_v - sin( \alpha ) \cdot y_v \\ sin( \alpha ) \cdot x_v + cos( \alpha ) \cdot y_v \end{pmatrix}

Jetzt möchten wir herausfinden, was passiert, wenn wir nicht nur einen Vektor, sondern auch ein Objekt rotieren. Als Objekt benutzen wir das Dreieck ABC mit den Punkten A(3|5), B(2|2) und C(7|4).
Dabei ist \alpha = 60^\circ.

Aufgaben

  1. Errechnen sie die Punkte A', B' und C' die durch die Rotation mit \alpha = 60^\circ entstehen.

TIPP: Arbeiten sie in der Gruppe zusammen und teilen sie die Punkte auf! Bei Fragen nutzen sie die Hilfen!

Kontrollieren sie ihre Lösung mit der GeoGebra Datei (unten). Die Punkte stehen links an der Seite.
Sie können die Vektoren und die Dreiecke durch klicken auf die Kästchen oben an und aus schalten.

GeoGebra Datei zu Aufgabe 1 + 2
  1. Was passiert mit dem Dreieck, wenn man \alpha verändert?
    1. Schauen sie sich die GeoGebra Datei (oben) an.
    2. Schreiben sie in vollständigen Sätzen auf, was sie beobachtet haben

Wir kennen bereits die allgemeine Form der Rotation in 2D:
\begin{pmatrix} cos( \alpha ) & -sin( \alpha ) \\ sin( \alpha ) & cos( \alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_v \\ y_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos( \alpha ) \cdot x_v - sin( \alpha ) \cdot y_v \\ sin( \alpha ) \cdot x_v + cos( \alpha ) \cdot y_v \end{pmatrix}

  1. Wie genau wurde diese Formel herausgefunden?
    1. Schauen sie sich alleine oder mit einem Partner die “Herleitung der Rotation in 2D” an.
    2. Achten sie dabei genau auf jeden Rechenschritt. Was genau wird bei dem Rechenschritt gemacht?
      Überlegen sie sich fehlende Zwischenschritte selbst!
Herleitung der Formel für die Skalierung in 2D

Kategorien

QR Code

QR Code
Wie waren die Aufgaben?
EinfachSchwer
Download Aufgabe als PDF