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Skalierung in 2D

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In der letzten Stunde haben wir uns mit der Multiplikation von einer Matrix mit einem Vektor beschäftigt.

Allgemein Formel: \begin{pmatrix}a_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_v\\ y_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1} \cdot x_v + a_{1,2} \cdot y_v \\ a_{2,1} \cdot x_v + a_{2,2} \cdot y_v \end{pmatrix}

Dabei haben wir uns angeschaut was passiert wenn man einen Vektor skaliert. Diese Rechnung haben wir auch in GeoGebra eingegeben.
\begin{pmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_v \\ y_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_x \cdot x_v \\ s_y \cdot y_v \end{pmatrix}

Skalierung: Eine Skalierung ist die das Vergrößern oder Verkleinern von Objekten.

Jetzt möchten wir herausfinden, was passiert, wenn wir nicht nur einen Vektor, sondern auch ein Objekt skalieren. Als Objekt benutzen wir das Dreieck ABC mit den Punkten A(3|5), B(2|2) und C(7|4).
Zuerst ist vorgegeben, dass s_x=3 und s_y=1,5 ist.

Aufgaben

  1. Errechnen sie die Punkte A', B' und C' die durch die Skalierung mit s_x=3 und s_y=1,5 entstehen.

TIPP: Arbeiten sie in der Gruppe zusammen und teilen sie die Punkte auf! Bei Fragen nutzen sie die Hilfen!

Kontrollieren sie ihre Lösung mit der GeoGebra Datei. Die Punkte stehen links an der Seite.
Sie können die Vektoren und die Dreiecke durch klicken auf die Kästchen oben an und aus schalten.

GeoGebra Datei zu Aufgabe 1 + 2
  1. Was passiert mit dem Dreieck, wenn man s_x und s_y verändert?
    1. Schauen sie sich die GeoGebra Datei (oben) an.
    2. Schreiben sie in vollständigen Sätzen auf, was sie beobachtet haben

Wir kennen bereits die allgemeine Formel der Skalierung in 2D:
\begin{pmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_v \\ y_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_x \cdot x_v \\ s_y \cdot y_v \end{pmatrix}

  1. Wie genau wurde diese Formel herausgefunden?
    1. Schauen sie sich alleine oder mit einem Partner die “Herleitung der Skalierung in 2D” an.
    2. Achten sie dabei genau auf jeden Rechenschritt. Was genau wird bei dem Rechenschritt gemacht?
      Überlegen sie sich fehlende Zwischenschritte selbst!
Herleitung der Formel für die Skalierung in 2D

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