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Untersuchung der Multiplikation von einer Matrix und einem Vektor

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Jetzt kommen wir zum interessanten Teil…

Wir untersuchen eine Rechnung!

\begin{pmatrix}1& 4\\ 3 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14\\ 32 \end{pmatrix}

Es gibt zwei Möglichkeiten wie man mit dem GTR oder GeoGebra diese Rechnung machen kann.

GTR

GeoGebra

Eingabe in GeoGebra:

v={{1,4},{3,7}}*(6,2)
Und wie genau bekommt man jetzt \begin{pmatrix} 14\\ 32 \end{pmatrix} heraus?

Schauen wir uns an der 14 mal genauer an. Denn die 14 ist das Ergebnis von folgender Rechnung: 1 \cdot 6 + 4 \cdot 2 = 14.
Das muss auch schon genügen… denn jetzt heißt es nachdenken!

Aufgabe

  1. Geben sie die Rechnung wie oben zum Üben in GeoGebra und den GTR ein.

Das Ziel ist es jetzt eine allgemeine Formel für die Multiplikation von einer Matrix und einem Vektor zu finden. Dazu benutzen wir die Rechnung von vorher: \begin{pmatrix}1& 4\\ 3 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14\\ 32 \end{pmatrix}
Allerdings benutzen wir für eine allgemeine Formel nicht die Zahlen in dem Vektor und in der Matrix, sondern Buchstaben.

Für die Matrix benutzen wir M = \begin{pmatrix}1& 4\\ 3 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix}

und für den Vektor benutzen wir \vec{v} = \begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_v\\ y_v \end{pmatrix}.

Also: \begin{pmatrix}a_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_v\\ y_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ?\\ ? \end{pmatrix}

  1. Versuchen sie die Fragezeichen bei der allgemeinen Formel mithilfe des Beispiels auszufüllen.
  2. Benutzen sie die Schiebregler um in GeoGebra die allgemeine Formel einzugeben. Wählen sie die Namen der Variablen der Schiebregler passend für den Vektor oder die Matrix.

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