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Zentralprojektion in 3D

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Was ist die Zentralprojektion?

Wir kennen die Zentralprojektion bereits vom Cam Carpet. Hier gab es ein Zentrum – die Kamera – und einen Banner der auf den Boden projeziert wurde. Dazu gibt es auch eine Darstellung in GeoGebra (siehe unten).

Bei der Aufgabe für den Cam Carpet hatten wir eine statische Kamera (eine feste Kamera) bei C (0|0|30).

Jetzt wird eine andere neue Kamera eingesetzt (in dem Modell vorne als Karmera in der Mitte hängend zu sehen).
Diese neue Kamera heißt: Cable Cam (deutsch: Kabel Kamera). Die Kamera wird an Seilen über dem Stadion gehalten, kann aber ihre Position verändern.

Der Blick der Cable Cam ist wie bei der statischen Kamera eine Zentralprojektion. Allerdings ist es sehr müsam für jede Position der Cable Cam neue Geradengleichungen zur Berechnung der Bildpunkte des Cam Carpets zu erstellen…

Hier ist die Rechnung für die aktuelle Position der Cable Cam C(15|40|25).

Es soll im Fernsehen ein virtueller Cam Carpet mit Werbung mitten auf dem Spielfeld eingeblendet werden.
Dazu wird eine Software verwendet in die die Bildpunkte des virtuellen Cam Carpets (also die Koordinaten auf der x-y-Ebene) eingegeben werden müssen.

Die Ausgangspunkte des virtuellen Banner (ist noch kein Cam Carpet) sind: A_1(-10|30|8), A_2(-18|30|8), A_3(-18|32|8) und A_4(-10|32|8).

Ortsvektor der Kamera: \vec{c}=\begin{pmatrix} \color{purple} 15 \\ \color{orange} 40 \\ \color{red}{25} \end{pmatrix} Ortsvektor von A_1: \vec{a_1} = \begin{pmatrix} -10\\ 30\\ \color{blue} 8\end{pmatrix}

Die Rechnung für die Zentralprojektion von A_1 zu dem Bildpunkt B_1 ist:
\frac{1}{( \color{blue} 8 \color{black} - \color{red}25 \color{black} )} \cdot \Biggl\lbrack \begin{pmatrix} - \color{red}{25} & 0 & \color{purple} 15\\ 0 & - \color{red}{25} & \color{orange} 40 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\ 30\\ \color{blue} 8\end{pmatrix} \Biggr\rbrack = \frac{1}{( \color{blue} 8 \color{black} - \color{red}25 \color{black} )} \cdot \begin{pmatrix} 370\\ -430 \\ 0 \end{pmatrix}

\Rightarrow \frac{1}{( \color{blue} 8 \color{black} - \color{red}25 \color{black} )} \cdot \begin{pmatrix} 370\\ -430 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21,76\\ 25,29 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{b_1}

Es ist also: B_1(-21,76|25,29|0)

Aufgaben

  1. Errechnen sie die weiteren Punkte B_2, B_3 und B_4 des virtuellen Cam Carpets.
    Kontrollieren Sie ihre Lösungen mit der GeoGebra Datei (unten).

TIPP: Arbeiten sie in der Gruppe zusammen und teilen sie die Punkte auf! Bei Fragen nutzen sie die Hilfen!

GeoGebra Datei zu Aufgabe 1

Um von einer Geradengleichung zu einer Rechnung mit einer Darstellungsmatrix zu kommen, muss man einige Umformungen machen. Das Ziel ist zu verstehen, wie wir auf die Darstellungsmatrix kommen.

Man startet bei der allgemeinen Formel für die Geradengleichung die sich aus der Kameraposition und dem Banner ergibt:
\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \\ z_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_C \\ y_C \\ z_C \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} x_A - x_C \\ y_A - y_C \\ z_A - z_C \end{pmatrix}

Am Ende erhält man eine allgemeine Formel für die Zentralprojektion mit einer Darstellungsmatrix:

\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \\ z_B \end{pmatrix} = \frac{1}{z_A-z_C} \cdot \Biggl\lbrack \begin{pmatrix} - z_C & 0 & x_C\\ 0 & - z_C & y_C\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_A\\ y_A\\ z_A \end{pmatrix} \Biggr\rbrack

Herleitung der allgemeinen Formel der Zentralprojektion auf die x-y-Ebene

Gruppe A
Gruppe B
  1. Wie genau wurde allgemeine Formel für die Darstellungsmatrix der Zentralprojektion herausgefunden?
    1. Untersuchen sie mit ihrer Gruppe die “Herleitung der Darstellungsmatrix einer Zentralprojektion auf die x-y-Ebene”.
    2. Beschreiben sie mit Hilfe der Buchstaben und Fragen neben der Herleitung die Rechenschritte der Herleitung.
      Hilfreiche Fragen:
      Was genau wird bei dem Rechenschritt gemacht?
      Warum genau wurde es gerade dann gemacht?
weiterführende Aufgabe:

Wir möchten eine schnelle Methode haben um die virtuellen Cam Carpets zu berechnen.

  1. Geben Sie dazu die Allgemeine Formel für die Darstellungsmatrix einer Zentralprojektion in GeoGebra ein.
    1. Die Punkte C und A müssen mit den normalen Zahlen eingegeben werden.
    2. Alle anderen Werte die in Abhängigkeit von C oder A eingegeben werden, können in GeoGebra so eingegeben werden:
      x_C = “x(C)” oder y_A = “y(A)”

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